[高等数学] - Ⅲ 导数的定义
intro
导数概念
导数：瞬时变化率
将增量与变化率作商记为导数：
\[\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \triangleq f(x_0)'\]这个式子不能写等于号，符号 $\triangleq $ 的意思是“定义为”
也可以换元，令 $x=x_0+\Delta x$ ，则：
\[\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \triangleq f(x_0)'\]改为使用变量的形式
记一个结论
\[f(x_0)' \ \exists \Longleftrightarrow f_+(x_0)' = f_-(x_0)'\]某点可导的充要条件是其左、右导数相等
再记一个结论
对增量 $\Delta x$ ，有三个位置必须具有相同表达式，才可被定义为导数
\[\alpha\cdot\lim\limits_{\alpha\cdot\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\alpha\cdot\Delta x} \triangleq \alpha\cdot f(x_0)'\]例如：
\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{f(x_0+\frac{2}{n})-f(x_0)}{\frac{1}{n}} \neq f(x_0)'\]应恒等变化为：
\[\left[\lim\limits_{\frac{2}{n} \rightarrow 0}\frac{f(x_0+\frac{2}{n})-f(x_0)}{\frac{1}{n}\cdot 2} \right] \cdot 2 = 2\cdot f(x_0)'\]考法
3 种出题方式：
总思维导图
抽象函数在一点的导数
若： $f(x)$ 可导且周期为 $T$ ，则每经过一次求导，有
奇偶性互换，周期性不变奇偶性相关的结论
- 奇函数若在原点处有定义，则其值必为 0
- 偶函数若在原点处为可导，则其导数为 0
分段函数在分段点
通常，分段函数很可能由绝对值函数构造，例如：
\[F(x) = f(x) \cdot \left| x-a \right|\]应去绝对值后，改写为：
\[F(x)=\begin{cases} -(x-a)\cdot f(x) & x<a \\ 0 & x=a \\ (x-a)\cdot f(x) & x>a \end{cases}\]